Untitled Document
header

 חומרי למידה לתלמידים  פעילויות לפי סוג   פעילויות בעקבות מאמרים בשילוב יישומונים

פעילויות מתוך המאמר: "מודלים של שטח בכיתות ג-ט"


מבוא:

מחנכים דוגלים בשימוש במודלים שונים להוראת הפעולות הבסיסיות של האריתמטיקה, כולל מודלים של קבוצות (על ידי שימוש בעצמים מוחשיים או בייצוגים של עצמים), מודלים של אורך (על ידי שימוש בבדידים או בציר המספרים), ומודלים של שטח (על ידי שימוש באריחים או בתמונות). כאשר ברצוננו להחליט כיצד להדגים ללומדים מושג מתמטי כלשהו, אנו צריכים להתייחס למספר שאלות:

pic1
• עד כמה המודל מתאים למאפייני הלמידה של התלמיד?
• עד כמה המודל רלבנטי להתנסויות של התלמיד?
• עד כמה המודל מדגים בצורה אפקטיבית את הרעיון המתמטי הנדרש?
• עד כמה המודל רלבנטי להתנסויות בחיי היומיום העתידיות של התלמיד?
• עד כמה המודל מאפשר הכללה למתמטיקה שהתלמיד ילמד בעתיד?

מודלים של שטח מתאימים במיוחד לאור שתי השאלות האחרונות. ללא ספק שטח הוא תחום רלבנטי להתנסויות עתידיות בחיי היומיום, ביישומים הכוללים בעיות העוסקות בתוצרים כמו: שטיחים, בדים, צביעה, טפטים, מדשאות וגינון. מאמר זה דן במודלים של שטח הניתנים לשימוש בכיתות ג' עד ט', ומראה כיצד המודל מכליל ממצבים בדידים (discrete) העוסקים באריתמטיקה של מספרים שלמים למצבים רציפים (continuous) העוסקים במספרים עשרוניים, שברים, אחוזים, הסתברות, אלגברה ומתמטיקה מתקדמת יותר.

חזרה לתפריט


כפל של מספרים שלמים

ישנם מודלים אחדים המתאימים להדגמת כפל של מספרים שלמים. מורה בכיתה ג' תשתמש, קרוב לודאי, במודל הקבוצות כדי לעזור לתלמידים לדמיין בעיה כמו 3 × 2, ראה איור 1 א'.

draw1

יישומון 1 ו- יישומון 2 מדגימים את מודל הקבוצות במערך.

יישומון 1: מודל הקבוצות במערך

applet1

לחיצה על + ועל - מוסיפה או מוחקת שורות וטורים של עיגולים.
לחיצה מימין ומשמאל לסימן x ומימין לסימן = מציגה את התרגיל והתוצאה המתאימים למערך.

יישומון 2: מודל הקבוצות - מערך מוסתר

applet2

בכל פעם מקבלים מערך אקראי של נקודות, שחלקן מוסתרות על ידי קלף.
יש להשתמש במספר השורות והטורים, על סמך כמות הנקודות הגלויה כדי לקבוע את כמות הנקודות הכוללת.
לחיצה רצופה על הקלף מגלה את המערך המלא.

למרות שמודל זה מצוין להצגת הכפל לראשונה, וצריך להשתמש בו, הרי שמודל השטח צריך גם להיות מוצג (איור 1 ב'). היתרון של הוספת מודל השטח הוא בכך שהוא עוזר לתלמידים להבין מן ההתחלה שכפל יכול להופיע במצבים רציפים, כמו במספר המטרים המרובעים שבגינה של שני מטר על שלושה מטר, בדיוק כמו שהוא יכול להופיע במצבים בדידים, כמו במספר האנשים בשתי שורות של שלושה אנשים. למרות שמודלים של קבוצות מצוינים לאריתמטיקה של מספרים שלמים, הרי שלא ניתן להכליל אותם לאריתמטיקה של שברים ומספרים עשרוניים, ולהסתברות, אלגברה ונושאים מתמטיים ברמה גבוהה, באותה מידה שניתן לעשות זאת עם מודלים של שטח.

למעבר חלק ממודל הקבוצות הקל יותר, ניתן לפרש תחילה את מודל השטח כמקרה מיוחד של מודל הקבוצות, כאשר חברי הקבוצות הם "אריחים". החל מכיתה ד' לערך, תלמידים עוברים לכפל של מספרים דו-ספרתיים, שעבורם מודלים של שטח מתחילים להיות לעזר רב. למשל, בבעיה 2 × 13 התלמיד יכול בקלות לראות שהמכפלה כוללת 2 עשרות ו- 6 יחידות (ראה איור 2 א'). באופן דומה, בבעיה 12 × 13 התלמיד יכול לראות 1 מאה, 5 עשרות ו- 6 יחידות (ראה איור 2 ב'). בעיות אחרות, כמו 2 × 17 או12 × 17 , יכולות להמחיש ארגון מחדש (regrouping) של המספר. ניתן להכין נייר משובץ שבו יש 100 משבצות קטנות בתוך משבצת אחת גדולה כדי לעבוד עם מודלים של שטח במספרים שלמים.

draw2

יישומון 3 מאפשר לראות את המכפלה של שני מספרים שלמים בשלוש דרכים שונות, בהן ניתן לבחור בתחתית המסך.
בכל דרך מוצגת מכפלה של שני גורמים, כאשר כל גורם הוא אחד מאורכי צלעות המלבן. בצד ימין מוצגים התרגילים המתאימים למערך, בהתאם לדרך הפתרון. צבעי התרגילים תואמים את צבעי מערכי המשבצות של המכפלות.
כדי לשנות את הגורמים, יש להזיז את המלבנים השחורים הנמצאים משמאל למערך ומתחתיו.

מצב א - Grouping
מתאים להדגמת תרגילים בלוח הכפל (עד 10x10).

applet3a

מצב ב - Lattice
מתאים להדגמת תרגילי כפל של מספר חד ספרתי בדו ספרתי, או כפל של שני גורמים דו ספרתיים.
ביצוע פעולת הכפל כולל פילוג כל אחד משני הגורמים הדו ספרתיים שבתרגיל.
ניתן להתאים מצב זה להדגמת שיטת הכפל בסריג.

applet3b

מצב ג - Common

מתאים להדגמת תרגילי כפל של מספר חד ספרתי בדו ספרתי, או כפל של שני גורמים דו ספרתיים.
ביצוע פעולת הכפל כולל פילוג אחד מהגורמים הדו ספרתיים שבתרגיל.

applet3c

חזרה לתפריט


מספרים ראשוניים, מספרים פריקים, ומציאת גורמים של מספר

ניתן להציג את הרעיון של מספרים ראשוניים, אולי בכיתה ה', תוך שימוש באריחים כמודל של שטח. לדוגמה, תלמידים יכולים לגלות שניתן להרכיב מששה אריחים מלבנים בצורות שונות. משבעה אריחים ניתן ליצור רק מלבן אחד. ראה איור 3.

draw3a 

יישומון 4, ו- יישומון 5, מאפשרים להציג גורמים של מספרים, על ידי יצירת מערכים מלבניים.

יישומון 4

ניתן לקבל מספר אקראי (Automatic Number)  applet4
או לבחור מספר משלכם (Use Your Own Number).
השתמשו ברשת כדי למצוא את הגורמים של המספר.

לחצו על משבצת ברשת וגררו את העכבר לסרטוט מלבן. שטח המלבן מוצג בזמן הגרירה.
הפסקת הלחיצה תביא לבדיקת תשובתכם. אם המלבן מתאים למספר – המלבן יישאר, אם לא מתאים – הוא ייעלם.
שני מימדי המלבן הם הגורמים של המספר. כתבו גורמים אלה כתרגיל כפל במשבצת הלבנה מימין. לחצו על ה- V לבדיקת התרגיל.
מספר המשבצות הלבנות מימין מתאים למספר אפשרויות
הפירוק של המספר לגורמים.

 

יישומון 5applet5

ניתן לקבל מספר אקראי (Get New #) או לבחור מספר משלכם
(Use This #). 

השתמשו ברשת כדי למצוא את הגורמים של המספר.
לחצו וגררו לסרטוט מלבן ששני מימדיו הם הגורמים של המספר. לבדיקה לחצו על Enter (בפינה השמאלית-עליונה של הרשת).
אם המלבן נכון – יופיע במסגרת מימין התרגיל המתאים.

המשיכו לסרטט מלבנים, עד שתקבלו את כל האפשרויות
של פירוק המספר לגורמים. 

 

חזרה לתפריט 


כפל מספרים עשרוניים

בכיתה ה' לערך, תלמידים יכולים להשתמש במודלים של שטח כדי לייצג בעיות אריתמטיות עם מספרים עשרוניים. בסיכום של הנאמר במחקרים אודות הוראה ולמידה של מספרים עשרוניים, כותב Hiebert (1987), "יש להקדיש זמן רב יותר לפיתוח המשמעות של מספרים עשרוניים... כאשר הם מוצגים לראשונה. ניתן להשתמש באמצעי המחשה כמו בדידי בסיס עשר, או פיסות נייר ריבועיות המחלקות לעשיריות ולמאיות, כמייצגים את הסמלים המתמטיים."

גישה זו מודגמת באיור 4 א', שבו ריבוע גדול מייצג יחידה (1) (בניגוד לייצוגים של המספרים השלמים, שבהם כל ריבוע קטן ייצג יחידה), "מקל ארוך" מייצג עשירית, וריבוע קטן מייצג מאית.

יישומון 6 מאפשר ייצוג כזה של המספרים העשרוניים.

applet6

קיימות ארבע אפשרויות מתוך אוסף היישומונים, לייצוג מספרים עשרוניים על ידי שימוש בלבני 10:
שתי אפשרויות של מעבדה פתוחה, בהן ניתן לבנות מספר כרצונכם. בשתי אפשרויות אלה יש ללחוץ על הלבנים כדי להציגן בטבלה, וללחוץ על Show number כדי לראות את המספר המתאים.

  1. כשהיחידה (או השלם) הוא פס של 10 משבצות קטנות וניתן להציג רק יחידות ועשיריות. applet6a

  2. כשהיחידה (או השלם) הוא ריבוע של 100 משבצות קטנות וניתן להציג יחידות עשיריות ומאיות.applet6b
    בשתי האפשרויות הנוספות מקבלים מספר עשרוני נתון ויש לייצגו בעזרת הלבנים. בשתי אפשרויות אלה יש ללחוץ על הלבנים כדי להציגן בטבלה, ללחוץ על Check לבדיקת התשובה, ועל New לקבלת מספר חדש.

  3. כשהיחידה (או השלם) הוא פס של 10 משבצות קטנות וניתן להציג רק יחידות ועשיריות. applet6c

  4. כשהיחידה (או השלם) הוא ריבוע של 100 משבצות קטנות וניתן להציג יחידות עשיריות ומאיות. applet6d

draw4

השוו את איורים 4 ב' ו- 4 ג' לאיורים 2 א' ו- 2 ב' כדי לראות כיצד מודלים של שטח יכולים לעזור להראות אריתמטיקה של מספרים עשרוניים כהרחבה של אריתמטיקה של מספרים שלמים. ניתן לראות ללא קושי את היחידות, העשיריות והמאיות בתשובות לבעיות הכפל.

יישומון 7 מדגים כפל של מספרים עשרוניים.

applet7

על ידי הזזת החץ ניתן לקבוע את התרגיל שייוצג על ידי מלבן הכפל. בצד ימין של היישומון רשום התרגיל ולחיצה על Calculate תציג את הפתרון.

יש לשים לב לכך שהפתרון של המכפלות החלקיות מציג לפעמים רק עשיריות, אבל על ידי הקלקה חוזרת על המכפלה החלקית ניתן לראות את המכפלה הנכונה.

 חזרה לתפריט


שברים פשוטים - חיבור וכפל

מודלים של שטח מתאימים במיוחד לשברים. (1984) Payne מצטט מחקר המראה ש"ילדים בכיתות א' עד ג' יכולים להגיע להבנת המשמעות והסמלים של שברים כאשר רעיונות אלו מקושרים לאזורים." הוא מראה כיצד ניתן להשתמש ברצועות נייר, שהם התאמה של מודל השטח, כמודלים מוחשיים לשברים. (1975) Kieren מציע שמתוך ארבע המשמעויות של המספרים הרציונאליים (מודלים של מדידות או שטחים, מנה, יחס ואופרטור) "למדידות ולאופרטור יש הסיכויים הטובים ביותר לכניסה מוקדמת אל המספרים הרציונליים".
ניתן להשתמש בתחילה במודלים של שטח כדי להדגים שברים ומאוחר יותר כדי להראות שברים שקולים. שימו לב באיור 5 שהשטח הצבוע מייצג ארבע ששיות אם לא מתעלמים מהקו המאוזן שבאמצע ושני שליש אם כן מתעלמים מקו זה.

באיור 6 מודל השטח ממחיש כיצד ניתן לחבר half-plus-2-thirds על ידי שימוש בשברים השקולים 4div6-plus-3div6.

 draw5draw6

יישומון 8 ו-יישומון 9 מאפשרים להציג שברים שקולים בעזרת מודל השטח.

יישומון 8

applet8

יש ליצור שברים שווים בשטחם על ידי חלוקת הריבוע לשורות ועמודות וצביעת החלקים. היישומון מציג את השבר גם על ציר מספרים.

ניתן לבחור אם רוצים למצוא שבר שווה אחד או שניים על ידי לחיצה על Number of Fractions.
ניתן לשנות את כמות השורות והטורים בריבוע על ידי לחיצה על + ועל -. לחיצה על השטח בתוך הריבוע תגרום לצביעתו. לבדיקה לחצו על Check מעל הריבוע. לקבלת שבר חדש לחצו על Next Question.

יישומון 9: שברים שקולים

applet9

יש לבנות שני שברים שווים לשבר נתון. יש להזיז את הנקודות הירוקות בצד כל ריבוע ומתחתיו, כדי לשנות את כמות הטורים והשורות שבריבוע. לחיצה על השטח בתוך הריבוע תצבע אותו.
לחצו על ה- V לבדיקת התשובות, ואם הן נכונות – השברים השקולים יופיעו בטבלה.
לחצו על New fraction לקבלת שבר חדש. לחצו על Build Your Own לבחירת שבר נתון משלכם.

באיור 7, מלבן במידות של 2div5 על 3div4ממחיש את הבעיה 2div5-multiplicated-by-3div4, בדיוק כמו שמלבן במידות 3 על 4 ממחיש את
3 × 4. השטח מורכב מ- 2 × 3 חלקים מתוך 5 × 4 חלקים, וזה מרמז בצורה חזקה ש- 2div5-multiplicated-by-3div4 צריך להיות 2div5-multiplicated-by-3div4a, ובכך מציע את ההגדרה של כפל שברים. דוגמאות אלו מראות את היתרונות שבשימוש במודלים מלבניים של שטח (במקום בעיגולים) כמודל המרכזי להצגת שברים, נקודה שנומקה על ידי (1984) Streefland. כמובן תלמידים יכולים להפיק תועלת מראיית מגוון של מודלים, כולל עיגולים, כדי להכין אותם למצבים בחיי היומיום.

draw7

 יישומון 10 ו- יישומון 11 מדגימים כפל שברים בעזרת מודל השטח.

יישומון 10: כפל שבריםapplet10

השטח הכחול מייצג גורם אחד, השטח האדום את הגורם השני.
השטח הסגול את המכפלה.
לחיצה על המשולשים הכחולים והזזת המלבנים השחורים קובעת
את הגורמים שבתרגיל.

לחצו על Test Me לקבלת תרגילים אותם יש לפתור.
לחצו על Check לבדיקה ועל New Problem לתרגיל חדש.
לתרגילים עם שברים גדולים מ- 1 בחרו ב-Improper Fractions.

 

יישומון 11: כפל שבריםapplet11

בחרו שני שברים על ידי בחירת המכנים והמונים בעזרת החיצים.
לחצו על Multiply להכפלת שני השברים.
אם אפשר, צמצמו את התשובה על ידי מיקום מחדש של האזורים המשותפים.
לחצו על Change Grid לקבלת התשובה המצומצמת ביותר.
לתרגיל חדש לחצו על Reset.

 

חזרה לתפריט


אחוזים

בכיתה ו' ניתן להשתמש ברצועות של אחוזים,שהן וריאציה של מודלים של שטח, כדי להמחיש את מושג האחוז. רצועות של אחוזים יכולות להפוך את הרעיון של 50 אחוז או 120 אחוז למופשט פחות (ראה איור 8).

draw8

ניתן להשתמש ברצועות של אחוזים גם כעזרה לפתרון בעיות אחוזים כמו הסוג הבא:

32 הם 80 אחוז מאיזה מספר?

אם מניחים ש- 100 אחוז של הרצועה הוא n ו- 80 אחוז של הרצועה הם 32, תלמידים יכולים בקלות לראות את הבעיה בצורה גיאומטרית. על ידי מילוי המספרים החסרים לאורך החלק העליון והחלק התחתון של הרצועה, התלמידים יכולים לראות שכל 10 אחוז מתאים ל- 4, כך ש- 100 אחוז מתאים ל- 40 (ראה איור 9).

draw9 

יישומון 12 מאפשר לפתור בעיות אחוזים (באנגלית) בעזרת ייצוג של פס:

applet12aapplet12b

יישומון 12: פתרון בעיות אחוזים בעזרת מודל שטח

היישומון מציג מלבן שטח לייצוג המספר עבורו יש למצוא את האחוז, ו'קו אחוז' המראה בהתאם את האחוז מהמספר הזה.
ניתן למצוא אחוז מהשלם, כאשר השלם נתון, או למצוא את השלם כאשר נתון הסכום המהווה אחוז מהשלם.

חזרה לתפריט


בעיות הסתברות

מודלים של שטח יכולים לעזור, לעיתים קרובות, לפתור בעיות הסתברות קשות יותר. דוגמה הלקוחה מתוך פרויקט מתמטיקה לכתות הביניים (Phillips et al. 1986, 97-128) דנה בהסתברות של שחקן כדורסל שמבצע זריקות חופשיות במצב של "בונוס": נניח שלשחקן יש 60 אחוז סיכויים לבצע זריקה חופשית, ואם הוא מצליח יש לו 60 אחוז סיכויים לבצע זריקה חופשית עם בונוס. מצאו את ההסתברות שהשחקן יבצע אפס, אחת, או שתי זריקות חופשיות. הסתברויות אלו מוצגות בהתאמה באזורים הלא צבועים, הצבועים בגוון בהיר והצבועים בגוון כהה של איור 10. מודלים של שטח עוזרים לראות שההסתברויות בהתאמה הן:
0.40 = 0.60 – 1 = (אפס זריקות חופשיות) P
0.24 = 0.40 × 0.60 = (זריקה חופשית אחת) P
0.36 = 0.60 × 0.60 = (שתי זריקות חופשיות) P
כך שההסתברות לא לעשות אף זריקה חופשית היא הגדולה ביותר, בעוד שההסתברות לעשות זריקה חופשית אחת היא הנמוכה ביותר – שזו הפתעה לתלמידים רבים. דוגמאות נוספות לשימוש במודלים של שטח להסתברות ניתן למצוא בביבליוגרפיה.

draw10

חזרה לתפריט


אלגברה

באלגברה, מודלים של שטח להמחשת תכונת הפילוג יכולים להוביל מבעיות כמו: 3 × 4 = 2 × 4 + 1 × 4 שבאיור 11 אל בעיות כמו algebra-equation1 וכמו algebra-equation2, ולהראות ש- algebra-equation3  אינו שווה ל- algebra-equation4 , כמו שתלמידים רבים חושבים (ראה איור 12).

draw11draw12

יישומון 13 מאפשר לייצג כפל של ביטויים אלגבריים.

applet13

כדי להדגים את הכפל: (x (y + 2 יש ללחוץ על כל אחד מהמלבנים מתחת למשטח העבודה ולגרור את האריחים למיקום הרצוי בסביבת העבודה. את אחד הגורמים מניחים בצד האנכי, ואת הגורם השני בצד האופקי. לאחר מכן ממלאים את המלבן שנוצר עם האריחים המייצגים כל אחת מהמכפלות החלקיות:

applet13a

ניתן לראות ש- algebra-equation5

ניתן לסובב אריחים על ידי הזזת העכבר לפינה של אריח. נקודה עגולה תופיע, איתה ניתן לסובב את האריחים. בשחרור הלחיצה האריחים יצמדו אנכית או אופקית.

ניתן לשנות את האורך של כל אריח: לאחר הוספת אריח לסביבת העבודה, ניתן לגרור את המלבנים מתחת לכפתורי ה-x או y של האריח.
מחיקת אריחים נעשית על ידי לחיצה וגרירה של אריח לפח האשפה בפינה של סביבת העבודה.
לחיצה על Clear מסירה את כל האריחים.

לפיכך יכולים מורים בכיתות הנמוכות להשתמש במודלים של שטח כהצגה מקדימה של מתמטיקה ברמה גבוהה יותר עבור תלמידיהם, בעוד שמורים בכיתות הגבוהות יכולים להשתמש במודלים של שטח כדי לבנות על התנסויות קודמות של תלמידיהם. הסיפור אינו מסתיים כאן. ניתן להשתמש במודלים של שטח במתמטיקה מתקדמת יותר, כולל חשבון אינטגרלי.

חזרה לתפריט



You are here